
\documentclass{article}
\usepackage{amssymb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Tue Jan 02 13:42:18 2001}
%TCIDATA{LastRevised=Mon Jul 09 09:14:21 2001}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Akibat}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Contoh}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposisi}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}

\title{PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM\\
FUNGSI PANHARMONIK}
\author{Endang Cahya M.A.\thanks{%
Mahasiswa S3 Matematika FMIPA ITB } \\
%EndAName
{\small Jurusan Pendidikan Matematika }\\
{\small \ \ \ \ \ FPMIPA UPI Bandung}\\
{\small Jl. Dr. Setyabudhi 229 Bandung}\\
{\small E-mail ecma@dns.math.itb.ac.id}}
\maketitle

\bigskip

Abstrak

Tulisan ini menjelaskan prinsip maksimum dan minimum fungsi panharmonik baik
yang bernilai riil maupun yang bernilai kompleks. Metoda pembuktian yang
digunakan adalah perhitungan kalkulus biasa untuk fungsi dua peubah.
Sedangkan untuk fungsi panharmonik bernilai kompleks digunakan prinsip
rotasi .

\section{ Pendahuluan}

\bigskip Sebuah fungsi $u=u(x,y)$ di $C^{2}(\Omega )$ disebut fungsi
panharmonik jika $u$ memenuhi persamaan Yukawa 
\begin{equation*}
\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
=\mu ^{2}u
\end{equation*}
untuk suatu konstanta real $\mu $ dan $\Omega $ himpunan buka di $\Re ^{2}.$
Fungsi panharmonik $u$ disebut panharmonik pada himpunan tutup jika $u$
panharmonik pada interiornya dan kontinu pada batasnya.

Makalah ini memberikan beberapa hasil survey yang ada pada literatur dan
juga memberikan beberapa hasil yang baru. Pendekatan yang digunakan di sini
serupa dengan pendekatan yang digunakan untuk fungsi harmonik. Hal ini
dilakukan hanya karena ada kemiripan bentuk antara persamaan Laplace dan
persamaan Yukawa.

Kajian pertama diawali dengan fakta perhitungan nilai maksimum dan minimum
fungsi panharmonik pada suatu disk, yang selanjutnya akan digunakan sebagai
langkah awal dugaan umum mengenai prinsip maksimum dan minimum fungsi
panharmonik. Berikutnya juga dibahas mengenai nilai maksimum modulus fungsi
panharmonik bernilai kompleks.

\section{Prinsip Maksimum dan Minimum Fungsi Panharmonik}

Untuk mengkaji masalah nilai maksimum dan minimum fungsi panharmonik,
marilah kita lihat gagasan yang muncul dari fakta berikut. Berikut ini,
teorema dari Duffin, untuk bukti lihat $\left[ 2\right] ,$ hal. $115.$

\begin{theorem}
Jika $u(r,\theta )$ fungsi panharmonik pada disk $x^{2}+y^{2}\leq a^{2},$
maka untuk $0\leq r<a,$%
\begin{equation*}
u(r,\theta )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }c_{n}I_{\left| n\right| }\left( \mu
r\right) e^{in\theta }
\end{equation*}
dimana 
\begin{equation*}
c_{n}=\frac{1}{2\pi I_{\left| n\right| }\left( \mu a\right) }\int_{0}^{2\pi
}u(a,\theta )e^{-in\theta }d\theta .
\end{equation*}
Di sini $I_{n}$ merupakan fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama, dengan 
\begin{equation*}
I_{n}(x)=\frac{1}{n!}\left( \frac{x}{2}\right) ^{n}\Psi _{n}(x),\text{ dan }
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Psi _{n}(x)=1+\frac{\left( \frac{x}{2}\right) ^{2}}{1.(n+1)}+\frac{\left( 
\frac{x}{2}\right) ^{4}}{1.2(n+1)\left( n+2\right) }+...
\end{equation*}
\end{theorem}

Dapat ditunjukkan bahwa untuk masing-masing $n,$ $I_{\left| n\right| }\left(
\mu r\right) e^{in\theta }$ merupakan solusi persamaan Yukawa dan secara
khusus, $\Psi _{0}\left( \mu r\right) $ merupakan solusi positif dari
persamaan Yukawa. Dari teorema di atas, mari kita tinjau jika nilai batas $u$
adalah konstan, sebut saja $u(a,\theta )=k$, untuk suatu konstanta real $k.$
Maka masing-masing koefisien $c_{n}$ akan menjadi 
\begin{equation*}
c_{n}=\frac{k}{2\pi I_{\left| n\right| }\left( \mu a\right) }\int_{0}^{2\pi
}e^{-in\theta }d\theta .
\end{equation*}
Tetapi karena 
\begin{equation*}
\int_{0}^{2\pi }e^{-in\theta }d\theta =\left\{ 
\begin{array}{cc}
2\pi & ,n=0 \\ 
0 & ,n\neq 0
\end{array}
\right.
\end{equation*}
maka diperoleh 
\begin{equation*}
c_{n}=\left\{ 
\begin{array}{cc}
\frac{k}{\Psi _{0}(\mu a)} & ,n=0 \\ 
0 & ,n\neq 0
\end{array}
\right.
\end{equation*}
dan 
\begin{equation*}
u(r,\theta )=\frac{k}{\Psi _{0}(\mu a)}I_{0}(\mu r).
\end{equation*}
Untuk fungsi $u(r,\theta )$ ini, kita tinjau dua kasus. Pertama, jika $k>0$,
maka $u(r,\theta )>0$ untuk setiap $\theta $ dan $r,$ dengan $\ 0\leq r\leq
a.$ Nilai maksimum $u$ akan dicapai jika $r=a,$ yaitu $u(r,\theta )=k$ dan
nilai minimum akan dicapai jika $r=0.$ Ini mengatakan bahwa nilai maksimum $%
u $ terjadi di batas dan nilai minimum $u$ terjadi di pusat disk. Kasus
kedua, jika $k<0,$ maka maka $u(r,\theta )<0$ untuk setiap $\theta $ dan $r,$
dengan $0\leq r\leq a.$ Nilai maksimum $u$ akan dicapai di pusat disk, dan
nilai minimum akan terjadi di batas disk yaitu $r=a.\qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $

Dari kedua kasus ini, dugaan mengenai dimana tempat terjadinya nilai
maksimum dan nilai minimum untuk fungsi panharmonik berbeda dengan tempat di
mana terjadinya nilai maksimum dan minimum untuk fungsi harmonik.

\subsection{Prinsip Maksimum}

\begin{theorem}
Misalkan $\Omega $ himpunan buka terhubung sederhana, dan $u$ fungsi
panharmonik pada $\overline{\Omega }.$ Jika nilai maksimum $u$ positif maka
nilai maksimum tersebut akan dicapai di batas $\Omega $ \ $\left( \partial
\Omega \right) .$
\end{theorem}

Bukti Andaikan ada $\overline{x}$ di dalam $\Omega $ sehingga $\nabla u(%
\overline{x})=0,$ $u_{xx}(\overline{x})u_{yy}(\overline{x})-u_{yx}^{2}(%
\overline{x})>0,$ dan $u_{xx}(\overline{x})<0.$ Maka $u_{xx}(\overline{x}%
)u_{yy}(\overline{x})>u_{yx}^{2}(\overline{x})\geq 0,$ tetapi $u_{xx}(%
\overline{x})<0$ akibatnya haruslah $u_{yy}(\overline{x})<0.$ Karena itu, $%
\mu ^{2}u(\overline{x})=u_{xx}(\overline{x})+u_{yy}(\overline{x})<0.$ Ini
bertentangan dengan yang diketahui. Dengan demikian tidak ada $\overline{x}$
di dalam $\Omega $ yang memberikan nilai maksimum, karena itu haruslah $%
\overline{x}$ ada di batas $\Omega .\blacksquare $

\begin{corollary}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik positif pada $\overline{\Omega },$ maka
nilai maksimum $u$ dicapai di batas $\Omega .$
\end{corollary}

Bukti Karena $u$ panharmonik positif maka nilai maksimum $u$ juga positif.
Berdasarkan teorema di atas, maka nilai maksimum $u$ terjadi di batas $%
\Omega .\blacksquare $

\begin{corollary}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak negatif pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana $\Omega .$ Jika $u$ mencapai nilai maksimum di dalam $%
\Omega ,$ maka $u$ fungsi konstan. (dalam hal ini $u$ haruslah fungsi nol).
\end{corollary}

Untuk bukti akibat ini, lihat $\left[ 1\right] $ dan $\left[ 3\right] .$

Selanjutnya, akan dilihat fungsi panharmonik pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana dan terbatas di $\Re ^{2},$ dan mungkin $u$ tidak
kontinu pada batasnya.

\begin{corollary}
Misalkan $\Omega $ sebuah himpunan buka terhubung sederhana dan terbatas di $%
\Re ^{2}.$ Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak negatif pada $\Omega ,$ dan
misalkan ada konstanta $M>0$ sehingga 
\begin{equation*}
\lim_{k\longrightarrow \infty }\sup u(b_{k})\leq M
\end{equation*}
untuk setiap barisan $\left( b_{k}\right) $ di $\Omega $ yang konvergen ke
suatu titik di batas $\Omega .$ Maka $u<M$ pada $\Omega .$
\end{corollary}

Bukti Misalkan $M^{\prime }=\sup \left\{ u(x):x\in \Omega \right\} ,$ dan
pilih barisan $\left( b_{k}\right) $ di $\Omega $ sehingga $u\left(
b_{k}\right) \longrightarrow M^{\prime }.$ Dari sini, ada dua kasus yang
perlu diperhatikan. Pertama, jika $\left( b_{k}\right) $ memiliki subbarisan
yang konvergen ke suatu titik $b$ di dalam $\Omega ,$ maka $u(b)=M^{\prime
}. $ Dengan prinsip maksimum fungsi panharmonik tak negatif, maka $%
u=M^{\prime } $ pada $\Omega .$ Untuk kasus kedua, jika tidak ada subbarisan
dari $\left( b_{k}\right) $ yang konvergen ke suatu titik di dalam $\Omega ,$
maka $\left( b_{k}\right) $ memiliki subbarisan $\left( a_{k}\right) $ yang
konvergen ke suatu titik pada batas $\Omega ,$ sebut saja titik tersebut
adalah $a,$ maka $u(a)=M^{\prime }.$ Ini mengakibatkan $u\leq M^{\prime }.$
Dengan demikian, dari kedua kasus ini, kita peroleh $u<M$ pada $\Omega
.\blacksquare $

\subsection{Prinsip Minimum}

Prinsip maksimum di atas, cenderung untuk digunakan pada fungsi panharmonik
positif, dan inipun akan berimplikasi juga untuk fungsi panharmonik negatif.

\begin{theorem}
Misalkan $\Omega $ himpunan buka terhubung sederhana, dan $u$ fungsi
panharmonik pada $\overline{\Omega }.$ Jika nilai minimum $u$ negatif maka
nilai minimum tersebut akan dicapai di batas $\Omega $ \ $\left( \partial
\Omega \right) .$
\end{theorem}

Bukti Andaikan ada $\overline{x}$ di dalam $\Omega $ sehingga $\nabla u(%
\overline{x})=0,$ $u_{xx}(\overline{x})u_{yy}(\overline{x})-u_{yx}^{2}(%
\overline{x})>0,$ dan $u_{xx}(\overline{x})>0.$ Maka $u_{xx}(\overline{x}%
)u_{yy}(\overline{x})>u_{yx}^{2}(\overline{x})\geq 0,$ tetapi $u_{xx}(%
\overline{x})>0$ akibatnya haruslah $u_{yy}(\overline{x})>0.$ Karena itu, $%
\mu ^{2}u(\overline{x})=u_{xx}(\overline{x})+u_{yy}(\overline{x})>0.$ Ini
bertentangan dengan yang diketahui. Dengan demikian tidak ada $\overline{x}$
di dalam $\Omega $ yang memberikan nilai minimum negatif, karena itu
haruslah $\overline{x}$ ada di batas $\Omega .\blacksquare $

\begin{corollary}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik negatif pada $\overline{\Omega },$ maka
nilai minimum $u$ dicapai di batas $\Omega .$
\end{corollary}

Bukti Karena $u$ panharmonik negatif maka nilai minimum $u$ juga negatif.
Berdasarkan teorema di atas, maka nilai minimum $u$ terjadi di batas $\Omega
.\blacksquare $

\begin{corollary}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak positif pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana $\Omega .$ Jika $u$ mencapai nilai minimum di dalam $%
\Omega ,$ maka $u$ fungsi konstan. (dalam hal ini $u$ haruslah fungsi nol).
\end{corollary}

Untuk bukti Akibat ini, lihat $\left[ 1\right] $ dan $\left[ 3\right] .$

Selanjutnya, akan dilihat fungsi panharmonik pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana dan terbatas di $\Re ^{2},$ dan mungkin $u$ tidak
kontinu pada batasnya.

\begin{corollary}
Misalkan $\Omega $ sebuah himpunan buka terhubung sederhana dan terbatas di $%
\Re ^{2}.$ Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak positif pada $\Omega ,$ dan
misalkan ada konstanta $M<0$ sehingga 
\begin{equation*}
\lim_{k\longrightarrow \infty }\inf u(b_{k})\geq M
\end{equation*}
untuk setiap barisan $\left( b_{k}\right) $ di $\Omega $ yang konvergen ke
suatu titik di batas $\Omega .$ Maka $u>M$ pada $\Omega .$
\end{corollary}

Bukti Misalkan $M^{\prime }=\inf \left\{ u(x):x\in \Omega \right\} ,$ dan
pilih barisan $\left( b_{k}\right) $ di $\Omega $ sehingga $u\left(
b_{k}\right) \longrightarrow M^{\prime }.$ Dari sini, ada dua kasus yang
perlu diperhatikan. Pertama, jika $\left( b_{k}\right) $ memiliki subbarisan
yang konvergen ke suatu titik $b$ di dalam $\Omega ,$ maka $u(b)=M^{\prime
}. $ Dengan prinsip minimum fungsi panharmonik tak positif, maka $%
u=M^{\prime }$ pada $\Omega .$ Untuk kasus kedua, jika tidak ada subbarisan
dari $\left( b_{k}\right) $ yang konvergen ke suatu titik di dalam $\Omega ,$
maka $\left( b_{k}\right) $ memiliki subbarisan $\left( a_{k}\right) $ yang
konvergen ke suatu titik pada batas $\Omega ,$ sebut saja titik tersebut
adalah $a,$ maka $u(a)=M^{\prime }.$ Ini mengakibatkan $u\geq M^{\prime }.$
Dengan demikian, dari kedua kasus ini, kita peroleh $u>M$ pada $\Omega
.\blacksquare $

Selanjutnya akan kita lihat nilai fungsi panharmonik di suatu titik dalam,
pada suatu daerah kompak melalui representasi integral fungsi panharmonik
pada suatu disk. Hasil ini diperoleh sebagai implikasi dari prinsip maksimum
dan minimum fungsi panharmonik di atas. Untuk itu, terlebih dulu perhatikan
integral representasi berikut, dan untuk bukti lihat $\left[ 2\right] ,$
hal. 111.

\begin{theorem}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik pada disk$\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left(
y-y_{0}\right) ^{2}\leq a^{2},$ maka 
\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2\pi \Psi _{0}(\mu a)}\int_{0}^{2\pi }u(x_{0}+a\cos
\varphi ,y_{0}+a\sin \varphi )d\varphi .
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{corollary}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak negatif pada daerah kompak $\Omega .$
Jika $u\leq M$ pada batas $\Omega $ untuk suatu $M>0,$ dan $\overline{x}$
suatu titik interior $\Omega ,$ maka 
\begin{equation*}
u\left( \overline{x}\right) \leq \frac{M}{\Psi _{0}(\mu a)},
\end{equation*}
dimana $a$ adalah jarak terdekat dari $\overline{x}$ terhadap batas $\Omega
. $
\end{corollary}

Bukti Misalkan $\overline{x}=(x_{0},y_{0})$ sembarang titik interior $\Omega
.$ Buat disk $\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}\leq
a^{2},$ dimana $a$ adalah jarak terdekat dari $\overline{x}$ terhadap batas $%
\Omega .$ Maka kita punya 
\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2\pi \Psi _{0}(\mu a)}\int_{0}^{2\pi }u(x_{0}+a\cos
\varphi ,y_{0}+a\sin \varphi )d\varphi .
\end{equation*}
Karena $0\leq u\leq M$ pada batas $\Omega $ maka ini juga berlaku pada disk $%
\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}\leq a^{2}$ di dalam $%
\Omega ,$ karena itu 
\begin{eqnarray*}
u(x_{0},y_{0}) &=&\frac{1}{2\pi \Psi _{0}(\mu a)}\int_{0}^{2\pi
}u(x_{0}+a\cos \varphi ,y_{0}+a\sin \varphi )d\varphi \\
&\leq &\frac{M}{\Psi _{0}(\mu a)}.\blacksquare
\end{eqnarray*}

\begin{corollary}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak positif pada daerah kompak $\Omega .$
Jika $u\geq M$ pada batas $\Omega $ untuk suatu $M<0,$ dan $\overline{x}$
suatu titik interior $\Omega ,$ maka 
\begin{equation*}
u\left( \overline{x}\right) \geq \frac{M}{\Psi _{0}(\mu a)},
\end{equation*}
dimana $a$ adalah jarak terdekat dari $\overline{x}$ terhadap batas $\Omega
. $
\end{corollary}

Bukti Misalkan $\overline{x}=(x_{0},y_{0})$ sembarang titik interior $\Omega
.$ Buat disk $\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}\leq
a^{2},$ dimana $a$ adalah jarak terdekat dari $\overline{x}$ terhadap batas $%
\Omega .$ Maka kita punya 
\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2\pi \Psi _{0}(\mu a)}\int_{0}^{2\pi }u(x_{0}+a\cos
\varphi ,y_{0}+a\sin \varphi )d\varphi .
\end{equation*}
Karena $M\leq u\leq 0$ pada batas $\Omega $ maka ini juga berlaku pada disk $%
\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}\leq a^{2}$ di dalam $%
\Omega ,$ karena itu 
\begin{eqnarray*}
u(x_{0},y_{0}) &=&\frac{1}{2\pi \Psi _{0}(\mu a)}\int_{0}^{2\pi
}u(x_{0}+a\cos \varphi ,y_{0}+a\sin \varphi )d\varphi \\
&\geq &\frac{M}{\Psi _{0}(\mu a)}.\blacksquare
\end{eqnarray*}
Untuk lebih memperjelas prinsip maksimum dan minimum di atas, dapat dilihat
contoh berikut.

\begin{example}
Misalkan $u(x,y)=\cosh \mu x$ pada disk D(0,R). Jelas $\ u$ fungsi
panharmonik. Nilai maksimum $u$ akan dicapai dibatas yaitu $(-R,0)$ dan $%
(R,0).$ Sedangkan nilai minimum dicapai disepanjang garis $x=0$ pada disk
D(0,R).
\end{example}

\begin{example}
Misalkan $u(x,y)=\sinh \mu x$ pada disk D(0,R). Jelas $u$ fungsi
panharmonik, dengan nilai maksimum dan minimum dicapai dibatas disk D(0,R)
yaitu $(R,0)$ dan $(-R,0)$.
\end{example}

\subsection{Fungsi Panharmonik Bernilai Kompleks}

Fungsi panharmonik yang telah dibahas di atas adalah fungsi panharmonik
bernilai real. Berikut ini akan dibahas mengenai fungsi panharmonik bernilai
kompleks.

\begin{theorem}
Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ fungsi bernilai kompleks di $C^{2}\left(
\Omega \right) .$ Fungsi $f$ panharmonik jika dan hanya jika $u$ dan $v$
masing-masing fungsi panharmonik.
\end{theorem}

Bukti Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ panharmonik pada $\Omega ,$ maka $%
f_{xx}+f_{yy}=u_{xx}+iv_{xx}+v_{yy}+iv_{yy}=\left( u_{xx}+u_{yy}\right)
+i\left( v_{xx}+v_{yy}\right) =\mu ^{2}\left( u+iv\right) =\mu ^{2}f.$ Jadi $%
u_{xx}+u_{yy}=\mu ^{2}u$ dan $v_{xx}+v_{yy}=\mu ^{2}v.\blacksquare $

\begin{corollary}
Misalkan $f$ fungsi panharmonik bernilai kompleks dan $c$ suatu konstanta
kompleks. Maka $cf$ juga fungsi panharmonik.
\end{corollary}

Bukti Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ fungsi panharmonik dan $c$ konstanta
kompleks. Maka $\left( cf\right) _{xx}+\left( cf\right)
_{yy}=cf_{xx}+cf_{yy}=c(f_{xx}+f_{yy})=c\mu ^{2}f=\mu ^{2}(cf).\blacksquare $

\begin{theorem}
Jika $u$ fungsi panharmonik bernilai kompleks pada $\Omega ,$ maka $\left|
u\right| $ mencapai nilai maksimum di $\overline{\Omega }$ pada batasnya.
\end{theorem}

Bukti Andaikan $\left| u\right| $ mencapai nilai maksimum di suatu titik $a$
di dalam $\Omega $, sebut saja $\left| u(a)\right| =M.$ Pilih bilangan
kompleks $b$ sehingga $\left| b\right| =1$ dan $bu(a)=M.$ Maka fungsi
panharmonik bernilai real $\func{Re}(bu)$ akan mencapai nilai maksimum $M$
di suatu titik $a$ di dalam $\Omega .$ Ini bertentangan dengan prinsip
maksimum fungsi panharmonik. Jadi haruslah $\left| u\right| $ mencapai nilai
maksimum pada batas $\Omega .\blacksquare $

\begin{example}
Misalkan $u(x,y)=e^{\mu x}+ie^{-\mu x}$ pada disk D(0,R). Maka $\left|
u\right| =\sqrt{e^{2\mu x}+e^{-2\mu x}}=\sqrt{2\cosh 2\mu x}.$ Dari sini
dapat dihitung bahwa nilai maksimum $\left| u\right| $ akan dicapai di batas
disk, yaitu $\left( -R,0\right) $ dan $\left( R,0\right) ,$ dan nilai
minimum $\left| u\right| $ akan dicapai sepanjang garis $x=0$ pada disk
D(0,R).
\end{example}

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{cahya}  E.Cahya, Panharmonic Functions (dalam persiapan publikasi).

\bibitem{duffin}  R.J.Duffin,Yukawan Potential Theory, J.Math.Anal.Appl
35(1971).104-130.

\bibitem{wono}  W.Setyabudhi, Fungsi Panharmonik di Cakram, MIHMI
6(2000).-119-124.

\bibitem{axler}  S.Axler, P.Bourdon, W.Ramey, ''Harmonic Function Theory'',
Springer-Verlag, NewYork,1992.
\end{thebibliography}

\end{document}
