
\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Thu Oct 19 10:02:52 2000}
%TCIDATA{LastRevised=Thu May 17 11:30:33 2001}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}

\title{Fungsi $\mu $ Regular}
\author{Endang Cahya}

\begin{abstract}
\end{abstract}

\maketitle

\bigskip 

\section{Pendahuluan}

\bigskip Misalkan $\Omega $ sebuah domain (daerah terbukadan terhubung
sederhana) di $\Re ^{2}$. Fungsi $u$ di $C^{2}(\Omega )$ yang memenuhi
persamaan Yukawa
\begin{equation*}
\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
=\mu ^{2}u\label{yukawa}\ref{yukawa}
\end{equation*}
untuk suatu konstanta real $\mu $ disebut fungsi panharmonik. Fungsi $u$ di $%
C^{2}$ dikatakan panharmonik pada $\overline{\Omega }$ jika $u$ panharmonik
di dalam $\Omega $ dan kontinu pada batas $\Omega .$

Selanjutnya perhatikan fungsi bernilai kompleks $f$ di $C^{2}(\Omega ),$
dengan  {\large \ }$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)${\large \ }dimana  $u$\ dan $v$\
masing-masing fungsi bernilai real pada $\Omega ,$ yang  memenuhi sifat  
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial u}{\partial x} &=&\frac{\partial v}{\partial y}+\mu u \\
\frac{\partial u}{\partial y} &=&-\frac{\partial v}{\partial x}-\mu v.\ref
{regular}
\end{eqnarray*}
Fungsi  $f$\ seperti di atas merupakan fungsi yang analitik semu dan disebut
fungsi $\mu $\ regular, dan sistem persamaan diferensial tersebut di atas
disebut Cauchy-Riemann yang diperumum(C-R-P) untuk persamaan Yukawa ($%
\triangle u=\mu ^{2}u).$\ Akibat dari sistem persamaan diferensial yang
dipenuhinya, dapat  ditunjukkan bahwa $u$\ dan $v$\ fungsi panharmonik
bernilai real, dan $f$\ merupakan fungsi panharmonik bernilai kompleks,
bahkan lebih dari itu, $f$\ panharmonik jika dan hanya jika $u$\ dan $v$\
panharmonik. Untuk menguji ke-$\mu $\ regularan suatu fungsi bernilai
kompleks di $C^{2}$, dapat digunakan syarat $Lf=\mu \overline{f}$\ dimana $L=%
\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}.$\ Sebagai akibat
dari syarat ke-$\mu $\ regularan, jika $f$\ fungsi $\mu $\ regular maka $%
\overline{Lf}$\ juga fungsi $\mu $\ regular. Untuk mengurangi kesalahpahaman
mengenai pengertian ke $\mu $ regularan suatu fungsi, maka suatu fungsi
disebut $\mu $ regular diartikan untuk nilai $\mu $ yang sama.

Berikut ini merupakan hasil kajian mengenai fungsi $\mu $ regular yang
diperoleh sebagai hasil pengembangan \ dari syarat yang harus dipenuhi oleh
sebuah fungsi $\mu $ regular.

\section{Sekawan Panharmonik }

Syarat ke $\mu $ regularan yang telah dijelaskan di atas, membawa akibat
bahwa tidak akan ada fungsi $\mu $ regular kostan, kecuali nol. Ini berbeda
dengan fungsi Analitik  dimana semua fungsi kompleks yang konstan merupakan
fungsi analitik.

\begin{theorem}
Fungsi $\mu $\ regular konstan adalah fungsi nol.
\end{theorem}

\begin{proof}
Gunakan pengandaian.
\end{proof}

\begin{theorem}
Misalkan $f$\ fungsi $\mu $\ regular pada domain $D$. Jika $f$\ bernilai
real, maka $f(z)=ke^{\mu x},$\ untuk suatu konstanta real k.

\begin{proof}
Misalkan $f$\ fungsi $\mu $\ regular bernilai real, maka $f(z)=u(x,y).$\
Berdasarkan persamaan Cauchy-Riemann yang diperluas, maka $\frac{\partial u}{%
\partial x}=\mu u$\ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=0.$\ Akibatnya, $u$\
fungsi yang hanya bergantung pada $x$\ yang memenuhi $\frac{\partial u}{%
\partial x}=\mu u$. Karena itu, kita peroleh $u(x,y)=ke^{\mu x}$, untuk
suatu konstanta real $k$.
\end{proof}
\end{theorem}

\bigskip 

\begin{theorem}
Misalkan $f$\ fungsi $\mu $\ regular pada domain $D$. Jika $\ \overline{f(z)}
$\ juga fungsi $\mu $\ regular \ pada $D$\ maka $f(z)=Ae^{\mu x}+iBe^{-\mu x}
$, untuk suatu konstanta real $A$\ dan $B$.

\begin{proof}
Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$\ fungsi $\mu $\ regular pada domain $D,$\
maka berlaku $u_{x}=v_{y}+\mu u,$\ dan $u_{y}=-v_{x}-\mu v.$\ sedangkan
untuk $\overline{f(z)}$\ $=u(x,y)-iv(x,y)$\ fungsi $\mu $\ regular \ pada $D$%
, berlaku $u_{x}=-v_{y}+\mu u,$\ dan $u_{y}=v_{x}+\mu v.$\ Dari sini
diperoleh bahwa $u$\ dan $v$\ masing-masing fungsi hanya bergantung pada $x$%
, yang memenuhi persamaan diferensial $\frac{\partial u}{\partial x}=\mu u$\
dan $\frac{\partial v}{\partial x}=-\mu v.$\ Jadi kita punya $u(x,y)=Ae^{\mu
x}$\ dan $v(x,y)=Be^{-\mu x},$\ untuk suatu knstanta real $A$\ dan $B.$\ Ini
telah membuktikan apa yang diinginkan.
\end{proof}
\end{theorem}

Dalam membicarakan fungsi analitik, kita kenal fungsi sekawan harmonik, maka
untuk fungsi $\mu $ regular akan dikenalkan pula istilah sekawan
panharmonik. $v$\ disebut sekawan panharmonik dengan $u$, jika dipenuhi 
persamaan C-R-P(1)  $u_{x}=v_{y}+\mu u,$\ dan $u_{y}=-v_{x}-\mu v.$\ Begitu
pula, $u$\ disebut sekawan panharmonik dengan $v$\ jika dipenuhi persamaan
C-R-P(2)  $v_{x}=u_{y}+\mu v$\ dan $v_{y}=-u_{x}-\mu u.$

\begin{theorem}
M\bigskip isalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$\ fungsi $\mu $\ regular pada domain $%
D.$\  $u$\ dan $v$\ saling sekawan panharmonik  jika dan hanya jika $i%
\overline{f(z)}$\ fungsi $\mu $\ regular.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\left( \Longrightarrow \right) $Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ \ \ fungsi $%
\mu $ regular pada domain $D,$dan $u$ dan $v$ saling sekawan, maka $Li%
\overline{f(z)}=L(v(x,y)+iu(x,y))=v_{x}-u_{y}+i(u_{x}+v_{y})=\mu v-i\mu
u=\mu \overline{v+iu}.$

$\left( \Longleftarrow \right) $Misalkan  $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ dan  $i%
\overline{f(z)}$ fungsi $\mu $ regular. Karena $f$ fungsi $\mu $ regular,
maka $u$ dan $v$ memenuhi persamaan C-R-P(1), dan karena $i\overline{f(z)}%
=v+iu$ fungsi $\mu $ regular maka $u$ dan $v$ memenuhi persamaan C-R-P(2).
Karena itu, $v$ dan  $u$ saling sekawan panharmonik.
\end{proof}

\begin{corollary}
{\large \ }Misalkan $f(z)$\ fungsi $\mu $\ regular pada domain $D.$\ Jika $i%
\overline{f(z)}$\ juga fungsi $\mu $\ regular maka $f(z)=A(1+i)e^{-\mu
y}+B(1-i)e^{\mu y},$\ untuk suatu konstanta real $A$\ dan $B.$

\begin{proof}
Misalkan $f(z)$\ dan $i\overline{f(z)}$\ fungsi $\mu $\ regular, maka
bedasarkan sifat yang dipenuhi oleh persamaan C-R-P, diperoleh bahwa $u$\
dan $v$\ merupakan fungsi-fungsi yang hanya bergantung pada $y$\ dan
memenuhi $v^{\prime }(y)+\mu u(y)=0,$\ dan $u^{\prime }(y)+\mu v(y)=0.$\
Akibatnya kita punya persamaan diferensial biasa linier ordo dua $u^{\prime
\prime }(y)=-\mu v^{\prime }(y)=\mu ^{2}u(y),$\ dan solusi nya adalah $%
u(y)=Ae^{-\mu y}+Be^{\mu y},$\ untuk suatu konstanta real $A$\ dan $B.$\
Karena $u^{\prime }(y)+\mu v(y)=0$\ maka $v(y)=Ae^{-\mu y}-Be^{\mu y}.$\
Jadi $f(z)=u(y)+iv(y)=A(1+i)e^{-\mu y}+B(1-i)e^{\mu y},$ untuk suatu
konstanta real $A$\ dan $B.$
\end{proof}
\end{corollary}

\begin{corollary}
Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$\ fungsi $\mu $\ regular pada domain $D.$\  $u$%
\ dan $v$\ saling sekawan panharmonik maka  $f(z)=A(1+i)e^{-\mu
y}+B(1-i)e^{\mu y},$\ untuk suatu konstanta real $A$\ dan $B.$
\end{corollary}

Akibat hasil di atas, menghasilkan bahwa $f(z)=A(1+i)e^{-\mu y}+B(1-i)e^{\mu
y}$\ dan $h(z)=i\overline{f(z)}=A(1+i)e^{-\mu y}+B(-1+i)e^{\mu y}$\
masing-masing fungsi $\mu $\ regular.

\begin{theorem}
\bigskip Misalkan $f(z)$\ fungsi $\mu $\ regular. \ Jika $if(z)$\ juga
fungsi $\mu $\ regular maka $f$\ fungsi nol.
\end{theorem}

\begin{theorem}
\bigskip\ Misalkan $f(z)$\ fungsi $\mu $\ regular. \ Jika \ $-\overline{f(z)}
$\ juga fungsi $\mu $\ regular maka $f$\ $(z)=Ae^{\mu x}+iBe^{-\mu x},$\
untuk suatu konstanta real $A$\ dan $B.$
\end{theorem}

\begin{proof}
Karena $f(z)$\ dan \ $-\overline{f(z)}$\ fungsi $\mu $\ regular , maka dari
sifat perluasan C-R-P yang dipenuhi , diperoleh $u$\ dan $v$\ haruslah
fungsi yang hanya bergantung pada $x$, dan memenuhi $u_{x}=\mu u$\ dan $%
v_{x}=-\mu v.$\ Karena itu diperoleh, $u(x,y)=Ae^{\mu x}$\ dan $%
v(x,y)=Be^{-\mu x}$\ , untuk suatu konstanta real $A$\ dan $B.$
\end{proof}

\end{document}
