
\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Thu Nov 30 11:28:07 2000}
%TCIDATA{LastRevised=Mon Feb 12 12:35:14 2001}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


Tulisan ini merupakan cara penulisan lain dari suatu fungsi panharmonik pada
suatu disk yang telah dikemukakan oleh Duffin, dalam Yukawa Potential
Theory. Untuk keperluan penulisan yang akan dikemukakan disini, terlebih
dulu akan dikemukakan cara penulisan fungsi Bessel yang dimodifikasi.

\begin{equation*}
I_{n}(x)=\frac{1}{n!}\left( \frac{x}{2}\right) ^{n}\Psi _{n}(x)
\end{equation*}

\begin{equation*}
\Psi _{n}(x)=1+\frac{\left( \frac{x}{2}\right) ^{2}}{1.(n+1)}+\frac{\left( 
\frac{x}{2}\right) ^{4}}{1.2(n+1)(n+2)}+\frac{\left( \frac{x}{2}\right) ^{6}%
}{1.2.3(n+1)(n+2)(n+3)}+...
\end{equation*}
Secara khusus,

\begin{equation*}
I_{0}(x)=\Psi _{0}(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( \frac{x}{2}\right)
^{2n}}{n!.n!}
\end{equation*}

\begin{equation*}
I_{1}(x)=\left( \frac{x}{2}\right) \Psi _{1}(x)=\left( \frac{x}{2}\right)
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( \frac{x}{2}\right) ^{2n}}{n!(n+1)!}.
\end{equation*}

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{R}rI_{0}(\mu r)dr &=&\int_{0}^{R}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( 
\frac{\mu r}{2}\right) ^{2n}}{n!.n!}rdr \\
&=&\sum_{n=0}^{\infty }\left( \int_{0}^{R}\frac{\left( \frac{\mu r}{2}%
\right) ^{2n}}{n!.n!}rdr\right) \\
&=&\frac{R^{2}}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( \frac{\mu R}{2}\right)
^{2n}}{n!(n+1)!} \\
&=&\frac{R}{\mu }I_{1}(\mu R) \\
&=&\frac{R^{2}}{2}\Psi _{1}(\mu R).
\end{eqnarray*}
Misalkan $u$\ panharmonik pada disk $(x-x_{0})^{2}+$\ $(y-y_{0})^{2}<R^{2},$%
\ ditulis $D(\overline{x},R)$\ maka

\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2\pi I_{0}(\mu R)}\int_{0}^{2\pi }u\left(
x_{0}+R\cos \theta ,y_{0}+R\sin \theta \right) d\theta .
\end{equation*}

Untuk $0<r<R,$ persamaan di atas dapat ditulis sebagai,

\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2\pi I_{0}(\mu r)}\int_{0}^{2\pi }u\left(
x_{0}+r\cos \theta ,y_{0}+r\sin \theta \right) d\theta .
\end{equation*}

\bigskip Selanjutnya, kalikan kedua ruas dengan $\mu rI_{0}(\mu r)$, dan
integralkan terhadap $r$\ dari $0$\ sampai $R$, diperoleh

\begin{equation*}
\int_{0}^{R}\mu rI_{0}(\mu r)u(x_{0},y_{0})dr=\int_{0}^{R}\left( \frac{1}{%
2\pi }\int_{0}^{2\pi }u\left( x_{0}+r\cos \theta ,y_{0}+r\sin \theta \right)
d\theta \right) \mu rdr
\end{equation*}

\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})RI_{1}(\mu R)=\frac{\mu }{2\pi }\int_{D(\overline{x}%
,R)}u\left( x,y\right) dxdy\text{ dengan }\overline{x}=(x_{0},y_{0})
\end{equation*}

\begin{eqnarray*}
u(x_{0},y_{0}) &=&\frac{\mu }{2\pi RI_{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x}%
,R)}u\left( x,y\right) dxdy \\
&=&\frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x},R)}u\left(
x,y\right) dxdy
\end{eqnarray*}

\bigskip

\begin{theorem}
1. Misalkan $u$\ panharmonik pada disk $(x-x_{0})^{2}+$\ $(y-y_{0})^{2}<R^{2}
$\ maka 
\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})=\frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x}%
,R)}u\left( x,y\right) dxdy,
\end{equation*}
dimana $\Psi _{1}(x)=1+\frac{\left( \frac{x}{2}\right) ^{2}}{1!.2!}+\frac{%
\left( \frac{x}{2}\right) ^{4}}{2!.3!}+\frac{\left( \frac{x}{2}\right) ^{6}}{%
3!.4!}+\frac{\left( \frac{x}{2}\right) ^{8}}{4!.5!}+...$
\end{theorem}

\bigskip

\begin{theorem}
\bigskip 2. Misalkan $u$\ panharmonik tak negatif pada disk $(x-x_{0})^{2}+$%
\ $(y-y_{0})^{2}\leq R^{2}$\ maka 
\begin{equation*}
\left| \frac{\partial u}{\partial x}\right| _{\left( x_{0},y_{0}\right)
}\leq \frac{2}{R}\frac{\Psi _{0}(\mu R)}{\Psi _{1}(\mu R)}u(x_{0},y_{0}).
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
\bigskip Karena masing-masing turunan parsial dari fungsi panharmonik adalah
panharmonik, maka 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial u}{\partial x}\left| _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\right.  &=&%
\frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x},R)}\frac{\partial
u\left( x,y\right) }{\partial x}dxdy \\
&=&\frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{\partial D}u\left( x,y\right) dy
\\
&=&\frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{0}^{2\pi }uR\cos \theta d\theta .
\end{eqnarray*}
Jadi kita punya, 
\begin{eqnarray*}
\left| \frac{\partial u}{\partial x}\right| _{\left( x_{0},y_{0}\right) }
&=&\left| \frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{0}^{2\pi }uR\cos \theta
d\theta .\right|  \\
&\leq &\frac{1}{\pi R\Psi _{1}(\mu R)}\int_{0}^{2\pi }ud\theta  \\
&=&\frac{1}{\pi R\Psi _{1}(\mu R)}2\pi I_{0}(\mu R)u(x_{0},y_{0}) \\
&=&\frac{2}{R}\frac{\Psi _{0}(\mu R)}{\Psi _{1}(\mu R)}u(x_{0},y_{0}).
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\bigskip

Dengan cara yang sama, juga diperoleh $\left| \frac{\partial u}{\partial y}%
\right| _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\leq \frac{2}{R}\frac{\Psi _{0}(\mu R)}{%
\Psi _{1}(\mu R)}u(x_{0},y_{0}).$\ Untuk $\mu \rightarrow 0,$\ maka kita
peroleh ketaksamaan Harnack untuk fungsi harmonik, $\left| \frac{\partial u}{%
\partial x}\right| _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\leq \frac{2}{R}%
u(x_{0},y_{0}).$\ Untuk fungsi panharmonik tak positif diperoleh $\left| 
\frac{\partial u}{\partial x}\right| _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\leq \frac{%
2}{R}\frac{\Psi _{0}(\mu R)}{\Psi _{1}(\mu R)}\left| u(x_{0},y_{0})\right| .$

\bigskip \bigskip

Selanjutnya akan kita lihat representasi integral fungsi panharmonik
dikaitkan dengan teorema Green. Perhatikan fungsi panharmonik pada disk $%
(x-x_{0})^{2}+$\ $(y-y_{0})^{2}<R^{2}$\ yaitu 
\begin{equation*}
u(x_{0},y_{0})=\frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x}%
,R)}u\left( x,y\right) dxdy.
\end{equation*}
Selanjutnya tulis, 
\begin{eqnarray*}
u(x_{0},y_{0}) &=&\frac{1}{\pi R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x}%
,R)}u\left( x,y\right) dxdy \\
&=&\frac{1}{\pi \mu ^{2}R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x},R)}\mu
^{2}u\left( x,y\right) dxdy \\
&=&\frac{1}{\pi \mu ^{2}R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{D(\overline{x}%
,R)}\triangle u\left( x,y\right) dxdy \\
&=&\frac{1}{\pi \mu ^{2}R^{2}\Psi _{1}(\mu R)}\int_{\partial D(\overline{x}%
,R)}\frac{\partial u}{\partial n}ds
\end{eqnarray*}
dimana $n$\ adalah vektor normal satuan terhadap disk, dan $\frac{\partial u%
}{\partial n}$\ merupakan turunan berarah $u$\ dalam arah $n$. Untuk
menunjukkan ketunggalan \ representasi di atas, dapat dilihat dari teorema
berikut.

\bigskip

\begin{theorem}
3. Misalkan $u$\ dan $v$\ fungsi panharmonik pada $\Omega $\ dengan syarat
batas yang sama $\frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}%
=g,$\ $g$\ fungsi kontinu pada $\partial \Omega $, maka $u=v$\ pada $%
\overline{\Omega \text{.}}$

\begin{proof}
Dengan menggunakan teorema green, 
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\left( u-v\right) \triangle \left( u-v\right) dV+\int_{\Omega
}\left| \nabla \left( u-v\right) \right| ^{2}dV=\int_{\partial \Omega
}\left( u-v\right) \frac{\partial (u-v)}{\partial n}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\mu ^{2}\left( u-v\right) ^{2}dV+\int_{\Omega }\left| \nabla
\left( u-v\right) \right| ^{2}dV=0.
\end{equation*}
Karena $\left( u-v\right) ^{2}$\ dan $\left| \nabla \left( u-v\right)
\right| ^{2}$\ terintegralgan dan positif, maka haruslah $u=v.$
\end{proof}
\end{theorem}

\bigskip

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK

\begin{theorem}
4. Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak negatif pada daerah kompak terbatas $%
\Omega .$ Maka $u$ akan mencapai nilai maksimum di batas $\Omega .$

\begin{proof}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak negatif pada daerah kompak terbatas $%
\Omega .$ Andaikan ada titik $\overline{x}$ pada interrior $\Omega $
sehingga $\nabla u(\overline{x})=0,$ $u_{xx}($ $\overline{x})u_{yy}($ $%
\overline{x})-u_{xy}^{2}($ $\overline{x})>0$ dan $u_{xx}($ $\overline{x})<0.$
Maka $u_{xx}($ $\overline{x})u_{yy}($ $\overline{x})>u_{xy}^{2}($ $\overline{%
x})\geq 0.$ Tetapi $u_{xx}($ $\overline{x})<0,$ akibatnya haruslah $u_{yy}($ 
$\overline{x})<0.$ Karena itu, $\mu ^{2}u(\overline{x})=$ $u_{xx}($ $%
\overline{x})+u_{yy}($ $\overline{x})<0.$ Ini bertentangan dengan yang
diketahui.
\end{proof}
\end{theorem}

\bigskip

\begin{theorem}
5. Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak positif pada daerah kompak terbatas $%
\Omega .$ Maka $u$ akan mencapai nilai maksimum di batas $\Omega .$

\begin{proof}
Misalkan $u$ fungsi panharmonik tak positif pada daerah kompak terbatas $%
\Omega .$ Andaikan ada titik $\overline{x}$ pada interrior $\Omega $
sehingga $\nabla u(\overline{x})=0,$ $u_{xx}($ $\overline{x})u_{yy}($ $%
\overline{x})-u_{xy}^{2}($ $\overline{x})>0$ dan $u_{xx}($ $\overline{x})>0.$
Maka $u_{xx}($ $\overline{x})u_{yy}($ $\overline{x})>u_{xy}^{2}($ $\overline{%
x})\geq 0.$ Tetapi $u_{xx}($ $\overline{x})>0,$ akibatnya haruslah $u_{yy}($ 
$\overline{x})>0.$ Karena itu, $\mu ^{2}u(\overline{x})=$ $u_{xx}($ $%
\overline{x})+u_{yy}($ $\overline{x})>0.$ Ini bertentangan dengan yang
diketahui.
\end{proof}
\end{theorem}

\bigskip

\begin{theorem}
6. Misalkan $u$\ fungsi panharmonik tak negatif pada daerah kompak $\Omega $%
. Jika $u\leq M$\ pada batas $\Omega $ untuk suatu $M>0$, dan $\overline{y}\ 
$suatu titik pada interior $\Omega $, maka 
\begin{equation*}
u(\overline{y})\leq \frac{M}{\Psi _{0}\left( \mu a\right) },
\end{equation*}
dimana $a$\ jarak terdekat dari $\overline{y}$\ ke batas $\Omega .$
\end{theorem}

\begin{proof}
Misalkan $\overline{y}=\left( x_{0},y_{0}\right) $\ sembarang titik pada
interior $\Omega .$\ Buat disk $\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left(
y-y_{0}\right) ^{2}\leq a^{2},$\ dimana $a$\ merupakan jarak terdekat dari $%
\overline{y}$\ terhadap batas $\Omega $, maka 
\begin{equation*}
u\left( x_{0},y_{0}\right) =\frac{1}{2\pi \Psi _{0}\left( \mu a\right) }%
\int_{0}^{2\pi }u(x_{0}+a\cos \phi ,y_{0}+a\sin \phi )d\phi .
\end{equation*}
Karena $0\leq u\leq M$\ pada batas $\Omega $ maka juga berlaku pada disk $%
\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}\leq a^{2},$\ karena
itu 
\begin{eqnarray*}
u\left( x_{0},y_{0}\right)  &=&\frac{1}{2\pi \Psi _{0}\left( \mu a\right) }%
\int_{0}^{2\pi }u(x_{0}+a\cos \phi ,y_{0}+a\sin \phi )d\phi  \\
&\leq &\frac{M}{\Psi _{0}\left( \mu a\right) }.
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\bigskip

\begin{theorem}
7. Misalkan $u$\ fungsi panharmonik tak positif pada daerah kompak $\Omega $%
. Jika $u\geq M$\ pada batas $\Omega $\ untuk suatu $M<0$, dan $\overline{y}$%
\ suatu titik pada interior $\Omega $, maka 
\begin{equation*}
u(\overline{y}\ )\geq \frac{M}{\Psi _{0}\left( \mu a\right) },
\end{equation*}
dimana $a$\ jarak terdekat dari $\overline{y}$\ \ ke batas $\Omega .$
\end{theorem}

\begin{proof}
Misalkan $\overline{y}=$\ $\left( x_{0},y_{0}\right) $\ sembarang titik pada
interior $\Omega .$\ Buat disk $\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left(
y-y_{0}\right) ^{2}\leq a^{2},$\ dimana $a$\ merupakan jarak terdekat dari $%
\overline{y}$\ \ terhadap batas $\Omega $, maka 
\begin{equation*}
u\left( x_{0},y_{0}\right) =\frac{1}{2\pi \Psi _{0}\left( \mu a\right) }%
\int_{0}^{2\pi }u(x_{0}+a\cos \phi ,y_{0}+a\sin \phi )d\phi .
\end{equation*}
Karena $0\geq u\geq M$\ pada batas $\Omega ,$ maka juga berlaku pada disk $%
\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}\leq a^{2},$\ karena
itu 
\begin{eqnarray*}
u\left( x_{0},y_{0}\right)  &=&\frac{1}{2\pi \Psi _{0}\left( \mu a\right) }%
\int_{0}^{2\pi }u(x_{0}+a\cos \phi ,y_{0}+a\sin \phi )d\phi  \\
&\geq &\frac{M}{\Psi _{0}\left( \mu a\right) }.
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{corollary}
\bigskip 8. Misalkan $u$\ fungsi panharmonik tak negatif pada suatu domain
terbatas $\Omega ,$\ dan misalkan 
\begin{equation*}
lim_{k\rightarrow \infty }\sup u(a_{k})\leq M
\end{equation*}
untuk setiap barisan $\left( a_{k}\right) $\ di dalam $\Omega $\ yang
konvergen ke salah satu titik di batas $\Omega .$\ Maka $u\leq M$\ pada $%
\Omega .$

\begin{proof}
Misalkan $M^{\prime }=\sup \left\{ u(x):x\in \Omega \right\} ,$ \ dan
barisan $\left( b_{k}\right) $\ di $\Omega $\ sehingga $u\left( b_{k}\right)
\rightarrow M^{\prime }.$ Ada dua kasus yang akan ditinjau, pertama jika $%
\left( b_{k}\right) $\ memiliki sub barisan yang konvergen ke suatu titik $b$
di dalam $\Omega ,$ maka \smallskip\ $u(b)=M^{\prime }.$ Berdasarkan prinsip
maksimum fungsi panharmonik, maka $u=M^{\prime }$\ pada $\Omega .$\ Yang
kedua, jika $\left( b_{k}\right) \bigskip $\ tidak memiliki sub barisan yang
konvergen \ ke suatu titik di dalam $\Omega ,$\ maka $\left( b_{k}\right) $
memiliki sub barisan $\left( a_{k}\right) $\ yang konvergen ke suatu titik
di batas $\Omega $, sebut $a.$\ Maka $u(a)=M^{\prime }.$\ Ini berakibat $%
u\leq M^{\prime }.$\ Dari kedua kasus di atas, disimpulkan bahwa $M^{\prime
}\leq M.$
\end{proof}
\end{corollary}

\bigskip

Akibat yang sama seperti di atas, juga akan berlaku untuk fungsi panharmonik
tak positif.

\begin{corollary}
\bigskip 9. Misalkan $u$\ fungsi panharmonik tak positif pada suatu domain $%
\Omega ,$\ dan misalkan 
\begin{equation*}
lim_{k\rightarrow \infty }\inf (a_{k})\geq M
\end{equation*}
untuk setiap barisan $\left( a_{k}\right) $\ di dalam $\Omega $\ yang
konvergen ke salah satu titik di batas $\Omega .$\ Maka $u\geq M$\ pada $%
\Omega .$
\end{corollary}

\bigskip

\end{document}
