%% This document created by Scientific Word (R) Version 2.0


\documentclass[12pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20jart}

%TCIDATA{TCIstyle=Article/ART4.LAT,jart,sw20jart}

\input tcilatex
\begin{document}

\[
\text{Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier} 
\]

\[
\text{Melalui Faktorisasi Operator} 
\]

\[
\text{Oleh} 
\]

\[
\text{Endang Cahya M.A.} 
\]

Tulisan ini menjelaskan uraian hasil riset suami istri A.B. Urdaletova dan
Syrgak Kydyraliev, dalam: The College Mathematics Journal, Vol.27, No.3,May
1996. Agar lebih mudah dipahami, tulisan ini juga dilengkapi dengan beberapa
contoh yang cukup memadai dan hasil kajian penulis. 
\[
\]

Persamaan Diferensial Linier Dengan Koefisien Konstan

Pandang operator diferensial linier umum orde n 
\[
L\left[ y\right] =y^{\left( n\right) }+a_1(x)y^{\left( n-1\right)
}+a_2(x)y^{\left( n-2\right) }+...+a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n\left( x\right)
y, 
\]
dimana koefisien $a_i(x),i=1,2,...,n$ adalah fungsi-fungsi kontinu.
Khususnya untuk $a_i(x)$ konstan untuk setiap $i,$ kita peroleh persamaan
diferensial linier dengan koefisien konstan, dan ditulis dalam bentuk
operator sebagai 
\[
L\left[ y\right] =y^{\left( n\right) }+a_1y^{\left( n-1\right)
}+a_2y^{\left( n-2\right) }+...+a_{n-1}y^{\prime }+a_ny. 
\]
Sebut saja polinom karakteristik dari persamaan operator koefisien konstan
di atas adalah sebuah polinom $e^{-rx}L\left[ e^{rx}\right] $ yaitu 
\[
r^n+a_1r^{n-1}+a_2r^{n-2}+...+a_{n-1}r+a_n, 
\]
dimana $r$ sesuatu yang tak tentu.

\begin{theorem}
Suatu faktorisasi $(r-r_1)(r-r_2)...(r-r_n)$ dari polinom karakteristik,
dimana $r_1,r_2,...,r_n$ merupakan akar-akar karakteristik (kemungkinan
kompleks), bersesuaian dengan faktorisasi operator$L=e^{r_nx}De^{\left(
r_{n-1}-r_n\right) x}...De^{\left( r_1-r_2\right) x}De^{-r_1x}\label{1}\label
{1}.$
\end{theorem}

\TeXButton{Proof}{\proof}Misalkan $M$ menunjukkan operator diferensial (1),
maka 
\begin{eqnarray*}
M\left[ e^{rx}\right] &=&e^{r_nx}\left( e^{\left( r_{n-1}-r_n\right)
x}\left[ e^{\left( r_{n-2}-r_{n-1}\right) x}...\left( e^{\left(
r_1-r_2\right) x}\left\{ e^{\left( r-r_1\right) x}\right\} ^{\prime }\right)
^{\prime }\right] ^{\prime }\right) ^{\prime } \\
&=&e^{r_nx}\left( e^{\left( r_{n-1}-r_n\right) x}\left[ e^{\left(
r_{n-2}-r_{n-1}\right) x}...\left( \left( r-r_1\right) e^{\left(
r_1-r_2\right) x}e^{\left( r-r_1\right) x}\right) ^{\prime }\right] ^{\prime
}\right) ^{\prime } \\
&=&\left( r-r_1\right) e^{r_nx}\left( e^{\left( r_{n-1}-r_n\right) x}\left[
e^{\left( r_{n-2}-r_{n-1}\right) x}...e^{\left( r_2-r_3\right) x}\left(
e^{\left( r-r_2\right) x}\right) ^{\prime }\right] ^{\prime }\right)
^{\prime } \\
&=&\left( r-r_1\right) \left( r-r_2\right) e^{r_nx}\left( e^{\left(
r_{n-1}-r_n\right) x}\left[ e^{\left( r_{n-2}-r_{n-1}\right) x}...e^{\left(
r_3-r_4\right) x}\left( e^{\left( r-r_3\right) x}\right) ^{\prime }\right]
^{\prime }\right) ^{\prime } \\
&&\vdots \\
&=&\left( r-r_1\right) \left( r-r_2\right) \ldots \left( r-r_{n-1}\right)
e^{r_nx}\left( e^{\left( r-r_n\right) x}\right) ^{\prime } \\
&=&\left( r-r_1\right) \left( r-r_2\right) \ldots \left( r-r_n\right) e^{rx}
\end{eqnarray*}
Dari sini $M$ sama dengan polinom karakteristik $L$. Tetapi polinom
karakteristik menentukan operator diferensial secara tunggal, jadi $M=L.$

\begin{example}
Selesaikan $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=8e^{5x}$
\end{example}

$Solution$

Polinom karakteristiknya $r^2-4r+3=\left( r-3\right) \left( r-1\right) $
bila ditulis dalam bentuk (1), diperoleh 
\[
e^{3x}\left( e^{\left( 1-3\right) x}\left[ e^{\left( -1\right) x}y\right]
^{\prime }\right) ^{\prime }=8e^{5x} 
\]
kemudian kalikan kedua ruas dengan $e^{-3x},$ diperoleh 
\[
\left( e^{-2x}\left[ e^{-x}y\right] ^{\prime }\right) ^{\prime }=8e^{2x} 
\]
Integralkan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh 
\begin{eqnarray*}
e^{-2x}\left[ e^{-x}y\right] ^{\prime } &=&\int 8e^{2x}dx=4e^{2x}+C_{} \\
\left[ e^{-x}y\right] ^{\prime } &=&4e^{4x}+C_{}e^{2x} \\
e^{-x}y &=&\int \left( 4e^{4x}+C_{}e^{2x}\right) dx=e^{4x}+\frac{C_{}}%
2e^{2x}+C_2 \\
y &=&e^x\left( e^{4x}+C_1e^{2x}+C_2\right)
\end{eqnarray*}
Jadi solusinya $y=e^{5x}+C_1e^{3x}+C_2e^x.$

Suku pertama pada jawaban di atas, $e^{5x}$ menunjukkan solusi partikulir
dan dua suku lainnya yaitu $C_1e^{3x}+C_2e^x$ menunjukkan solusi homogen.
Karena itu dapat ditulis sebagai $y=y_p+y_h$ dimana $y_p$ solusi partikulis
dan $y_h$ solusi homogen.

\begin{example}
Selesaikan $y^{\prime \prime }-6y^{\prime }+9y=6e^{3x^{}}$
\end{example}

$solution$

Polinom karakteristiknya $r^2-6r+9=\left( r-3\right) ^2$ bila ditulis dalam
bentuk (1), diperoleh
\begin{eqnarray*}
e^{3x}\left( e^{\left( 3-3\right) x}\left( e^{-3x}y\right) ^{\prime }\right)
^{\prime } &=&6e^{3x} \\
e^{3x}\left( \left( e^{-3x}y\right) ^{\prime }\right) ^{\prime } &=&6e^{3x}
\\
\left( \left( e^{-3x}y\right) ^{\prime }\right) ^{\prime } &=&6 \\
\left( e^{-3x}y\right) ^{\prime } &=&\int 6dx \\
y^{\prime } &=&6xe^{3x}+ce^{3x} \\
y &=&\int \left( 6xe^{3x}+ce^{3x}\right) dx \\
&=&\left( 3x^2+c_1x+c_2\right) e^{3x}
\end{eqnarray*}
'

\end{document}
