%% This document created by Scientific Word (R) Version 2.0


\documentclass[12pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20jart}

%TCIDATA{TCIstyle=Article/ART4.LAT,jart,sw20jart}

\input tcilatex
\begin{document}

PRINSIP REFLEKSI PADA FUNGSI $\mu $ REGULAR

Pendahuluan

Tulisan ini menjelaskan mengenai keberlakuan prinsip refleksi untuk fungsi $%
\mu $ regular, yang selanjutnya dapat digunakan untuk memperluas fungsi
tersebut yang hanya berlaku pada setengah daerah yang simetris untuk
diperluas menjadi fungsi $\mu $ Regular yang berlaku untuk keseluruhan
daerah domain.

\begin{theorem}
Misalkan $f(z)$ fungsi $\mu $ regular pada daerah disk $\left| z\right| \leq
b.$ Maka $f(z)$ dapat diekspansi dalam bentuk deret kuasa semu. 
\[
f(z)=\sum_0^\infty a_nz^n\psi _n(\mu r)+\overline{\sum_0^\infty a_n\frac \mu
{2(n+1)}z^{n+1}\psi _{n+1}(\mu r)}
\]
dimana 
\[
a_n=\frac 1{2\pi b^n\psi _n\left( \mu b\right) }\int_0^{2\pi }e^{-in\theta
}f(b,\theta )d\theta .
\]
\TeXButton{Proof}{\proof}(lihat Duffin, h.125)\TeXButton{End Proof}
{\endproof}
\end{theorem}

\begin{theorem}
Misalkan $f(z)$ fungsi $\mu $ regular dan $f(\alpha )=0,$ tetapi $f(z)$
tidak identik dengan nol pada lingkungan dari $\alpha $. Maka untuk suatu
bilangan bulat positif $m$ dan untuk suatu konstanta $a_m\neq 0,$%
\[
f(z)=a_m\left( z-\alpha \right) ^m+O\left| z-\alpha \right| ^{m+1}
\]
dan
\[
\frac{\partial f(z)}{\partial x}=ma_m\left( z-\alpha \right) ^{m-1}+O\left|
z-\alpha \right| ^{m+1}.
\]
\end{theorem}

\TeXButton{Proof}{\proof}(lihat Duffin, h.126)\TeXButton{End Proof}
{\endproof}

\begin{theorem}
Misalkan $f(z)$ fungsi $\mu $ regular dalam daerah domain $D$ dan misalkan
terdapat barisan bilangan $\left\{ \alpha _n\right\} $ di $D$ dengan $\alpha
_i\neq \alpha _j$ yang konvergen ke $\alpha $ di $D,$ dan $f\left( \alpha
_n\right) =0$ untuk setiap $n$. Maka $f\left( z\right) $ $=0$ untuk setiap $z
$ pada $D$.\TeXButton{Proof}{\proof}(lihat Duffin, h.126).%
\TeXButton{End Proof}{\endproof}
\end{theorem}

Selanjutnya, dari teorema yang ke tiga di atas, dapat ditunjukkan
ketunggalan suatu fungsi $\mu $ regular.

\begin{corollary}
Misalkan $f$ dan $g$ dua buah fungsi $\mu $ regular dalam daerah domain $D.$
Maka $f\equiv g$ jika dan hanya jika $\left\{ z\in D:f(z)=g(z)\right\} $
punya titik limit di $D.$
\end{corollary}

\TeXButton{Proof}{\proof} Untuk membuktikan ini, cukup ditunjukkan dari
kanan ke kiri. Untuk itu definisikan $h(z)\equiv \left( f-g\right) \left(
z\right) .$ Akibatnya $\left\{ z\in D:h(z)=0\right\} $ punya titik limit di $%
D.$ Berdasarkan teorema 3, $h(z)=0$ untuk sembarang z di $D.$ Akibatnya $%
f\equiv g.$\TeXButton{End Proof}{\endproof}

Akibat ini mengatakan bahwa fungsi $\mu $ regular dalam daerah domain $D$
secara tunggal ditentukan oleh nilainya atas domain tersebut.

Perluasan Fungsi $\mu $ regular melalui Prinsip Refleksi

\begin{theorem}
Misalkan $D$ daerah domain pada setengah bidang atas yang memuat beberapa
segmen garis pada sumbu real sebagai salah satu batasnya. Misalkan $f$
fungsi $\mu $ regular pada $\overline{D}$ dan bernilai real pada sumbu real.
Maka $f$ dapat diperluas atas daerah $\overline{D}\cup D*$, dimana $D*$
merupakan daerah hasil refleksi $\overline{D}^{}$terhadap sumbu real.
\end{theorem}

\TeXButton{Proof}{\proof}Definisikan 
\[
F(z)=\left\{ 
\begin{tabular}{lll}
$f(z)$ & , & $z\in \overline{D}$ \\ 
$\widetilde{f(z)}$ & , & $z\in D*$%
\end{tabular}
\right. 
\]
dengan $\widetilde{f(z)}=\overline{f\left( \overline{z}\right) }.$
Selanjutnya akan ditunjukkan $F$ fungsi $\mu $ regular pada $\overline{D}%
\cup D*.$Untuk itu, cukup diperlihatkan $\widetilde{f(z)}$ fungsi $\mu $
regular pada $D*$ dan $\widetilde{f(z)}=f(z)$ pada segmen garis-segmen garis
di sumbu real. Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, maka $\widetilde{f(z)}%
=u(x,-y)-iv(x,-y).$ Dapat diperlihatkan $L$ $\widetilde{f(z)}=\mu \overline{%
\widetilde{f(z)}}$. Misalkan $L_k$ segmen garis-segmen garis pada sumbu
real, maka untuk sembarang $z$ di $L_k$, $z=\overline{z}.$ Akibatnya $%
\widetilde{f(z)}=\overline{f\left( \overline{z}\right) }=\overline{f(z)}$
pada $L_k.$ Tetapi $f(z)$ bernilai real pada $L_k$, maka $\overline{f(z)}%
=f(z)$ pada $L_{k.}$Jadi $\widetilde{f(z)}=f(z)$ pada $L_k$.%
\TeXButton{End Proof}{\endproof}

\begin{theorem}
Misalkan $D$ daerah domain yang simetri terhadap sumbu real$,$ dan $f(z)$
fungsi $\mu $ regular pada $D.$ Maka $\overline{f(z)}=f(\overline{z})$ untuk
setiap $z$ di $D$ jika dan hanya jika $f$ bernilai real pada sumbu real.
\end{theorem}

\TeXButton{Proof}{\proof}$\left( \Leftarrow \right) $Misalkan $%
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ dan $F(z)=\overline{f(\overline{z})}=u(x,-y)-iv(x,-y).$
Akan ditunjukkan $F$ fungsi $\mu $ regular. $LF=\left( \frac \partial
{\partial x}+i\frac \partial {\partial y}\right) \left(
u(x,-y)-iv(x,-y)\right) =\left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial
v}{\partial y}\right) +i\left( -\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial
v}{\partial x}\right) =\mu u+i\mu v=\mu \left( u+iv\right) =\mu \overline{%
u-iv}=\mu \overline{F(z)}.$ Selanjutnya akan ditunjukkan $F(z)=f(z)$ pada
sumbu real. Karena $z=\overline{z}$ pada sumbu real dan $f(z)$ bernilai real
untuk semua z pada sumbu real, maka $f(z)=f(\overline{z})=\overline{f(%
\overline{z})}=F(z).$ Karena fungsi $\mu $ regular pada daerah $D$ secara
tunggal ditentukan oleh nilainya pada daerah $D$ (lihat corrolary
ketunggalan) maka $F(z)=f(z)$ untuk setiap $z$ di $D.$

$\left( \Rightarrow \right) $Misalkan $\overline{f(\overline{z})}=f(z),$
untuk setiap $z$ di $D.$ Akan ditunjukkan $f$ bernilai real pada sumbu real.
Tuliskan $u(x,y)+iv(x,y)$ $=u(x,-y)-iv(x,-y).$ Secara khusus untuk $(x,0)$
pada sumbu real maka $u(x,0)+iv(x,0)$ $=u(x,0)-iv(x,0).$ Akibatnya haruslah $%
v(x,0)=0.$ jadi $f$ bernilai real pada sumbu real.\TeXButton{End Proof}
{\endproof}

\begin{theorem}
Misalkan $D$ daerah domain pada setengah bidang atas yang memuat beberapa
segmen garis pada sumbu real sebagai salah satu batasnya. Misalkan $f$
fungsi $\mu $ regular pada $\overline{D}$ dan bernilai imaginer pada sumbu
real. Maka $f$ dapat diperluas atas daerah $\overline{D}\cup D*$, dimana $D*$
merupakan daerah hasil refleksi $\overline{D}^{}$terhadap sumbu real.
\end{theorem}

\TeXButton{Proof}{\proof}Definisikan 
\[
F(z)=\left\{ 
\begin{tabular}{lll}
$f(z)$ & , & $z\in \overline{D}$ \\ 
$\widetilde{f(z)}$ & , & $z\in D*$%
\end{tabular}
\right. 
\]
dengan $\widetilde{f(z)}=-\overline{f\left( \overline{z}\right) }.$
Selanjutnya akan ditunjukkan $F$ fungsi $\mu $ regular pada $\overline{D}%
\cup D*.$Untuk itu, cukup diperlihatkan $\widetilde{f(z)}$ fungsi $\mu $
regular pada $D*$ dan $\widetilde{f(z)}=f(z)$ pada segmen garis-segmen garis
di sumbu real. Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, maka $\widetilde{f(z)}%
=-u(x,-y)+iv(x,-y).$ Dapat diperlihatkan $L$ $\widetilde{f(z)}=\mu \overline{%
\widetilde{f(z)}}$. Misalkan $L_k$ segmen garis-segmen garis pada sumbu
real, maka untuk sembarang $z$ di $L_k$, $z=\overline{z}.$ Akibatnya $%
\widetilde{f(z)}=-\overline{f\left( \overline{z}\right) }=-\overline{f(z)}$
pada $L_k.$ Tetapi $f(z)$ bernilai imaginer pada $L_k$, maka $-\overline{f(z)%
}=f(z)$ pada $L_{k.}$Jadi $\widetilde{f(z)}=-\overline{f(z)}=f(z)$ pada $L_k$%
.\TeXButton{End Proof}{\endproof}

\begin{theorem}
Misalkan $D$ daerah domain yang simetri terhadap sumbu real$,$ dan $f(z)$
fungsi $\mu $ regular pada $D.$ Maka $f(z)=-\overline{f(\overline{z})}$
untuk setiap $z$ di $D$ jika dan hanya jika $f$ bernilai imaginer pada sumbu
real.
\end{theorem}

\TeXButton{Proof}{\proof}$\left( \Leftarrow \right) $Misalkan $%
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ dan $F(z)=-\overline{f(\overline{z})}=-u(x,-y)+iv(x,-y).
$ Akan ditunjukkan $F$ fungsi $\mu $ regular. $LF=\left( \frac \partial
{\partial x}+i\frac \partial {\partial y}\right) \left(
-u(x,-y)+iv(x,-y)\right) =\left( -\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{%
\partial v}{\partial y}\right) +i\left( \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{%
\partial v}{\partial x}\right) =-\mu u-i\mu v=-\mu \left( u+iv\right) =\mu 
\overline{F(z)}.$ Selanjutnya akan ditunjukkan $F(z)=f(z)$ pada sumbu real.
Karena $z=\overline{z}$ pada sumbu real dan $f(z)$ bernilai imaginer untuk
semua z pada sumbu real, maka $F(z)=-\overline{f(\overline{z})}=-\overline{%
f(z)}=f(z)$ pada sumbu real. Karena fungsi $\mu $ regular pada daerah $D$
secara tunggal ditentukan oleh nilainya pada daerah $D$ (lihat corrolary
ketunggalan) maka $F(z)=f(z)$ untuk setiap $z$ di $D.$

$\left( \Rightarrow \right) $Misalkan $-\overline{f(\overline{z})}=f(z),$
akan ditunjukkan $f$ bernilai imaginer pada sumbu real. Tuliskan $%
u(x,y)+iv(x,y)$ $=-u(x,-y)+iv(x,-y).$ Secara khusus untuk $(x,0)$ pada sumbu
real maka $u(x,0)+iv(x,0)$ $=-u(x,0)+iv(x,0).$ Akibatnya haruslah $u(x,0)=0.$
jadi $f$ bernilai imaginer pada sumbu real.\TeXButton{End Proof}{\endproof}

\end{document}
