%% This document created by Scientific Word (R) Version 2.0


\documentclass[12pt,thmsa]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20jart}

%TCIDATA{TCIstyle=Article/art4.lat,jart,sw20jart}

\input tcilatex
\begin{document}

\[
\text{ NILAI DAN FUNGSI EIGEN PERSAMAAN LAPLACE}
\]

Tulisan ini menjelaskan bagaimana kita mencari solusi dari masalah nilai
batas

\begin{equation}
\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=\lambda u
\end{equation}
\label{perslaplace}

dengan syarat batas $u=0$ pada persegi panjang $R=\left\{ 
\begin{array}{c}
0\leq x\leq a \\ 
0\leq y\leq b
\end{array}
\right. $

Dengan menggunakan metoda peubah terpisah, misalkan 
\begin{equation}
u(x,y)=H(x)G(y).  \label{sol}
\end{equation}

adalah solusi (1). Maka kita peroleh 
\[
u_{xx}=H^{\prime \prime }G\text{ dan }u_{yy}=HG^{\prime \prime } 
\]

dan (1) menjadi, 
\[
H^{\prime \prime }G+HG^{\prime \prime }=\lambda Hg 
\]

atau 
\begin{equation}
\frac{H^{\prime \prime }}H=\left( \lambda -\frac{G^{\prime \prime }}G\right)
.
\end{equation}

Ruas kiri dari persamaan (3) hanya bergantung pada x dan ruas kanan hanya

bergantung pada y. Jika kita ambil y tetap, dan x sembarang, maka setiap

perubahan nilai x akan memberikan nilai ruas kiri berubah-ubah, sedangkan

nilai di ruas kanan tetap. Karena itu, agar persamaan (3) ada, haruslah

persamaan (3) konstan, 
\begin{equation}
\frac{H^{\prime \prime }}H=\left( \lambda -\frac{G^{\prime \prime }}G\right)
=k,\text{ k konstanta.}
\end{equation}

Dari persamaan (4), diperoleh dua buah persamaan diferensial biasa, yaitu : 
\begin{equation}
H^{\prime \prime }-kH=0,\text{ dan }
\end{equation}
\begin{equation}
G^{\prime \prime }+(k-\lambda )G=0.
\end{equation}

Dengan memperhatikan syarat batas dan bentuk solusi \ref{sol}, maka
diperoleh 
\begin{equation}
H(0)=H(a)=G(0)=G(b)=0.
\end{equation}

Perhatikan kembali pers. (5), 
\[
H^{\prime \prime }-kH=0. 
\]

Untuk menyelesaikan (5), kita bagi dalam tiga kasus, yaitu $k=0,k>0,k<0.$

Kasus $k=0.$

Maka solusi (5): $H(x)=ax+b,$ a dan b konstanta.

Tetapi syarat (7) memberikan $H=0.$

Ini mengakibatkan $U\equiv 0$ (solusi trivial/tidak menarik).

Kasus $k>0,$ sebut $k=\alpha ^2.$

Pers. (5) menjadi $H^{\prime \prime }-\alpha ^2H=0,$dan solusinya adalah 
\[
H(x)=ae^{\alpha x}+be^{-\alpha x}. 
\]

Dengan memakai syarat batas (7), diperoleh : 
\begin{eqnarray}
c_1+c_2 &=&0  \nonumber \\
c_1e^{\alpha a}+c_2e^{-\alpha a} &=&0.  \nonumber
\end{eqnarray}

Andaikan $c_1\neq 0,$ maka $e^{-\alpha a}=e^{\alpha a}$, tetapi $a>0$ dan $%
\alpha >0.$

Jadi tidak mungkin $c_1\neq 0.$

Karena itu, haruslah $c_1=c_2=0,$ dan ini memberikan $H=0.$

Akibatnya $U\equiv 0$ (solusi trivial).

Kasus $k<0,$ sebut $k=-\alpha ^2,\alpha >0.$

Persamaan (5) menjadi $H^{\prime \prime }+\alpha ^2H=0.$

Solusi umumnya, $H(x)=A\cos \alpha x+B\sin \alpha x.$

Dengan syarat batas (7), diperoleh $H(0)=A=0,$ dan $H(a)=B\sin \alpha a=0.$

Jika $B=0$ maka $H=0,$akibatnya $U\equiv 0$ (solusi trivial).

Dengan demikian, haruslah $\sin \alpha x=0$%
\begin{eqnarray*}
\alpha a &=&n\pi ,n=1,2,3,... \\
\alpha &=&\frac{n\pi }a,n=1,2,3,... \\
&&
\end{eqnarray*}

Selanjutnya substitusikan $\alpha =\frac{n\pi }a$ pada persamaan (6),
diperoleh 
\begin{eqnarray}
&&  \nonumber \\
G^{\prime \prime }+(k-\lambda )G &=&0  \nonumber \\
G^{\prime \prime }+(-\alpha ^2-\lambda )G &=&0  \nonumber \\
G^{\prime \prime }-(\lambda +\frac{n^2\pi ^2}{a^2})G &=&0. \\
&&  \nonumber
\end{eqnarray}

Kasus jika $\lambda =-\frac{n^2\pi ^2}{a^2}$, maka $G^{\prime \prime }=0.$%
\begin{eqnarray*}
&& \\
G(y) &=&Ay+B,\text{ }A\text{ dan }B\text{ konstanta.}
\end{eqnarray*}

Dengan syarat batas $G(0)=0=G(b),$ diperoleh $A=B=0.$

Jadi $G\equiv 0,$ akibatnya $U\equiv 0.$ (solusi trivial).

Kasus jika $\lambda >-\frac{n^2\pi ^2}{a^2}$ maka $\lambda +\frac{n^2\pi ^2}{%
a^2}>0,$ sebut $\lambda +\frac{n^2\pi ^2}{a^2}=\gamma ^2,\gamma >0.$

Persamaan (8) menjadi $G^{\prime \prime }-\gamma ^2G=0,$ dan solusinya
adalah 
\begin{eqnarray*}
G(y) &=&Ae^{\gamma y}+Be^{-\gamma y}. \\
&&
\end{eqnarray*}

Dengan syarat batas $G(0)=0$ menghasilkan $B=-A$.

Dan $G(a)=0$ menghasilkan $A(e^{\gamma a}-e^{-\gamma a})=0.$

Karena $\gamma >0$ dan $a>0,$ maka haruslah $A=0.$

Ini memberikan $G\equiv 0,$ akibatnya $U\equiv 0.$ (solusi trivial).

Kasus jika $\lambda <-\frac{n^2\pi ^2}{a^2}$ maka $\lambda +\frac{n^2\pi ^2}{%
a^2}<0,$ sebut $\lambda +\frac{n^2\pi ^2}{a^2}=-\gamma ^2,\gamma >0.$

Persamaan (8) menjadi $G^{\prime \prime }+\gamma ^2G=0,$ dan solusinya
adalah 
\[
G(y)=A\cos \gamma y+B\sin \gamma y. 
\]

Dengan syarat batas $G(0)=0$ menghasilkan $A=0,$dan $G(b)=B\sin \gamma b=0.$

Jika $B=0,$ maka $G\equiv 0$, akibatnya $U\equiv 0.$ (solusi trivial).

Dengan demikian, $\sin \gamma b=0.$%
\[
\gamma b=m\pi ,\text{ }m=1,2,... 
\]
\[
\gamma =\frac{m\pi }b,\text{ }m=1,2,... 
\]

Jadi $U_{nm}(x,y)=H_n(x)G_m(y)=C_{nm}\sin \frac{n\pi }ax\sin \frac{m\pi }by,$

yang memenuhi syarat batas $U=0$ pada batas $R$.

Dengan demikian $U(x,y)$ dapat ditulis sebagai

$U(x,y)=\sum_{n=1}\sum_{m=1}U_{nm}(x,y)=\sum_{n=1}\sum_{m=1}C_{nm}\sin \frac{%
n\pi }ax\sin \frac{m\pi }by$ dan 
\begin{eqnarray*}
\lambda +\frac{n^2\pi ^2}{a^2} &=&-\gamma ^2=-\frac{m^2\pi ^2}{b^2} \\
\lambda &=&-\pi ^2(\frac{n^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}) \\
\lambda &=&\lambda _{nm}=-\pi ^2(\frac{n^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}).
\end{eqnarray*}

Untuk selanjutnya, kita bisa mencari solusi masalah yang sama untuk

tiga dimensi dan R=$\left\{ 
\begin{array}{c}
0\leq x\leq a \\ 
0\leq y\leq b \\ 
0\leq z\leq c
\end{array}
\right. $

hasil yang diperoleh memiliki pola sbb.

\[
\lambda =\lambda _{nmp}=-\pi ^2(\frac{n^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}+\frac{p^2}{%
c^2}) 
\]

\[
U(x,y)=\stackunder{}{\sum_{n=1}\sum_{m=1}\sum_{p=1}}U_{nmp}(x,y)=\sum_{n=1}%
\sum_{m=1}\sum_{p=1}C_{nmp}\sin \frac{n\pi }ax\sin \frac{m\pi }by\sin \frac{%
p\pi }cz 
\]

\end{document}
