
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Tue Jan 02 13:42:18 2001}
%TCIDATA{LastRevised=Tue Oct 28 04:42:14 2003}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}{Akibat}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}{Definisi}
\newtheorem{example}{Contoh}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}{Lema}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Bukti]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}

\title{INTEGRAL PENYAJIAN \\
FUNGSI $\mu $ REGULAR UMUM}
\author{}
\maketitle

\baselineskip=.25in

\section{\protect\bigskip Integral Penyajian Fungsi $\protect\mu $ Regular
Umum}

Tulisan ini menjelaskan perluasan bentuk Cauchy untuk fungsi yang tidak
analitik, khususnya akan dikembangkan untuk fungsi $\mu -$ regular. Di sini
akan diuraikan bagaimana cara memperoleh formula untuk menghitung nilai
fungsi dalam daerah domain melalui integral pada batasnya. Tetapi sebelum
itu akan dikemukakan sifat-sifat yang berlaku pada fungsi analitik.

\begin{theorem}
Stokes-Green

Misal $R$ sebuah daerah pada bidang yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup
sederhana $\gamma $ dan memiliki orientasi positif. Misal $P$ dan $Q$ fungsi
dalam dua peubah yang memiliki turunan pertama yang kontinu pada $R$ dan
batasnya, maka

\begin{equation*}
\int_{\gamma }Pdx+Qdy=\iint_{R}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{%
\partial P}{\partial y}\right) dxdy.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
Anulus (deformasi kontur)

Misal $f(z)$ analitik pada anulus tertutup yang ditentukan oleh lintasan
tertutup sederhana $C$ dan $K,$ maka $\int_{C}f(z)dz=\int_{K}f(z)dz.$
Asalkan $C$ dan $K$ dijelajahi dengan orientasi yang sama.
\end{theorem}

\begin{theorem}
Misal $C$ sebuah lintasan tertutup sederhana, dan $f(z)$ terintegralkan
sepanjang lintasan $C$. Misal ada $M>0,$ sehingga $\left| f(z)\right| \leq
M,\forall z\in C,$ dan panjang lintasan $C$ adalah $L.$ Maka 
\begin{equation*}
\int_{C}f(z)dz\leq ML.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
Integral Cauchy

Misal $f(z)$ analitik pada suatu lintasan tertutup sederhana $C$ yang
berorientasi positif dan pada daerah interior $C$. Misal $z_{0}$ sebuah
titik dalam interior $C$, maka

\begin{equation*}
f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz.
\end{equation*}
\end{theorem}

Kita akan mengubah formula Stokes-Green dalam bentuk $\frac \partial
{\partial z}$ dan $\frac \partial {\partial \overline{z}}.$

Misal $z=x+iy,$ maka $dz=dx+idy,$ dan $d\overline{z}=dx-idy,$ sehingga $%
dx=\frac 12\left( dz+d\overline{z}\right) ,$ dan $dy=\frac 1{2i}\left( dz-d%
\overline{z}\right) ,$ dan $dx\wedge dy=-\frac 1{2i}dz\wedge d\overline{z}.$
Selain itu, kita juga punya $x=\frac 12\left( z+\overline{z}\right) ,$ dan $%
y=\frac 1{2i}\left( z-\overline{z}\right) $ dan 
\begin{eqnarray*}
\frac \partial {\partial z} &=&\frac 12\left( \frac \partial {\partial
x}-i\frac \partial {\partial y}\right) \\
\frac \partial {\partial \overline{z}} &=&\frac 12\left( \frac \partial
{\partial x}+i\frac \partial {\partial y}\right) ,
\end{eqnarray*}
sehingga diperoleh 
\begin{eqnarray*}
\frac \partial {\partial x} &=&\frac \partial {\partial z}+\frac \partial
{\partial \overline{z}} \\
\frac \partial {\partial y} &=&i\frac \partial {\partial z}-i\frac \partial
{\partial \overline{z}}.
\end{eqnarray*}

Melalui permisalan di atas, dan mensubstitusikannya, maka terdapat $G$ dan $%
H $ sehingga 
\begin{equation*}
Pdx+Qdy=Gdz+Hd\overline{z}
\end{equation*}
dalam hal ini $G=\frac 12(P-iQ)$ dan $H=\frac 12(P+iQ).$ Selanjutnya
perhatikan integran ruas kanan dari formula Stokes-Green, 
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)
dx\wedge dy &=&\left( \frac{\partial Q}{\partial z}+\frac{\partial Q}{%
\partial \overline{z}}-\left( i\frac{\partial P}{\partial z}-i\frac{\partial
P}{\partial \overline{z}}\right) \right) \frac{dz\wedge d\overline{z}}{-2i}
\\
&=&\left( \left( \frac{\partial Q}{\partial z}-i\frac{\partial P}{\partial z}%
\right) +\left( \frac{\partial Q}{\partial \overline{z}}+i\frac{\partial P}{%
\partial \overline{z}}\right) \right) \frac{dz\wedge d\overline{z}}{-2i} \\
&=&\left( \frac{-1}{2i}\frac \partial {\partial z}(Q-iP)-\frac 1{2i}\frac
\partial {\partial \overline{z}}(Q+iP)\right) dz\wedge d\overline{z} \\
&=&\left( \frac \partial {\partial z}\frac 12(P+iQ)-\frac \partial {\partial 
\overline{z}}\frac 12(P-iQ)\right) dz\wedge d\overline{z} \\
&=&\left( \frac{\partial H}{\partial z}-\frac{\partial G}{\partial \overline{%
z}}\right) dz\wedge d\overline{z}.
\end{eqnarray*}
Akhirnya formula Stokes-Green dapat ditulis 
\begin{equation*}
\int_\gamma Gdz+Hd\overline{z}=\iint_R\left( \frac{\partial H}{\partial z}-%
\frac{\partial G}{\partial \overline{z}}\right) dz\wedge d\overline{z}.
\end{equation*}
Selanjutnya, kita akan menggunakan bentuk di atas dalam hal, $H=0,$ dan $%
G(z)=\frac{f(z)}{z-z_0},f$ fungsi $C^\infty $ $(f\in C^\infty (\overline{R}%
)),$ dan $z_0$ titik dalam interior R. Misal $C$ adalah kurva yang membatasi
daerah $R$ dan $B(z_{0,}\varepsilon )$ daerah lingkaran di dalam $R$ yang
berpusat di $z_0$ berjari-jari $\varepsilon .$ Misal $\gamma =C+\partial
B(z_0,\varepsilon )$ dan $R_\varepsilon $ daerah anulus yang dibatasi oleh $%
C $ dan $\partial B$ (keduanya memiliki orientasi positif, daerahnya selalu
ada di sebelah kiri lintasan). Maka 
\begin{equation*}
\int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\iint_{R_\varepsilon }\left( \frac \partial
{\partial \overline{z}}f(z)\right) \frac{d\overline{z}\wedge dz}{z-z_0}
\end{equation*}
atau 
\begin{equation*}
\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz+\int_{\partial B}\frac{f(z)}{z-z_0}%
dz=\iint_{R_\varepsilon }\left( \frac \partial {\partial \overline{z}%
}f(z)\right) \frac{d\overline{z}\wedge dz}{z-z_0}.
\end{equation*}
Tulis 
\begin{eqnarray*}
\int_{\partial B}\frac{f(z)}{z-z_0}dz &=&\int_{\partial B}\frac{%
f(z)-f(z_0)+f(z_0)}{z-z_0}dz \\
&=&\int_{\partial B}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz+\int_{\partial B}\frac{f(z_0)%
}{z-z_0}dz \\
&=&\int_{\partial B}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz+f(z_0)\int_{\partial B}\frac
1{z-z_0}dz.
\end{eqnarray*}
Karena $\frac 1{z-z_0}$ kontinu di $\partial B,$ dan kita parameterisasi $%
\partial \overline{B}$ ($\partial B$ dengan orientasi berlawanan arah jarum
jam) maka $\int_{\partial B}\frac 1{z-z_0}dz=-\int_{\partial \overline{B}%
}\frac 1{z-z_0}dz=-2\pi i.$ Dan $f$ kontinu pada $z_0$, maka untuk sembarang 
$\varepsilon >0$, terdapat $\delta >0$ sehingga $\left| z-z_0\right| <\delta
\Longrightarrow \left| f(z)-f(z_0)\right| <\varepsilon .$ Pilih $\lambda
\leq \frac \delta 2$ dan pandang lingkaran $K:\left| z-z_0\right| =\lambda $
dalam $B(z_0;\varepsilon ),$ maka panjang $K=2\pi \lambda .$ Akibatnya untuk
setiap $z$ di $K,$ kita punya 
\begin{equation*}
\left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right| =\frac{\left| f(z)-f(z_0)\right| }{%
\left| z-z_0\right| }<\frac \varepsilon \delta <2\frac \varepsilon \delta
=\frac \varepsilon {\delta /2}=\frac \varepsilon \lambda .
\end{equation*}
Dengan teorema anulus dan teorema 2, kita peroleh 
\begin{equation*}
\left| \int_{\partial B}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right| =\left| \int_K%
\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right| \leq \frac \varepsilon \lambda .2\pi
\lambda =2\pi \varepsilon .
\end{equation*}
Tetapi ini berlaku untuk sembarang $\varepsilon >0,$ maka $\int_{\partial B}%
\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0.$ Jadi kita peroleh 
\begin{equation*}
\int_{\partial B}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=-2\pi if(z_0).
\end{equation*}

Sekarang kita perhatikan integral di ruas kanan, yaitu 
\begin{equation*}
\iint_{R_\varepsilon }\left( \frac \partial {\partial \overline{z}%
}f(z)\right) \frac{d\overline{z}\wedge dz}{z-z_0},
\end{equation*}
ini merupakan integral tak wajar, dan diartikan sebagai sebuah limit, 
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\iint_{R_\varepsilon }\left( \frac \partial
{\partial \overline{z}}f(z)\right) \frac{d\overline{z}\wedge dz}{z-z_0}.
\end{equation*}
Untuk melihat apakah limitnya ada, asumsikan $\frac \partial {\partial 
\overline{z}}f(z)$ terbatas dan misalkan $z=z_0+\varepsilon e^{i\theta },$
maka $z-z_0=\varepsilon e^{i\theta },$ dan $dx\wedge dy=\varepsilon
d\varepsilon \wedge d\theta ,$ tetapi $dx\wedge dy=\frac{d\overline{z}\wedge
dz}{2i},$ sehingga diperoleh $d\overline{z}\wedge dz=2i\varepsilon
d\varepsilon \wedge d\theta .$ Akibatnya $\varepsilon $ yang terdapat dalam
penyebut integran terhapus, karena itu limitnya ada. Dan karena untuk $%
\varepsilon \rightarrow 0,$ $R_\varepsilon \rightarrow R,$ maka 
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\iint_{R_\varepsilon }\left( \frac \partial
{\partial \overline{z}}f(z)\right) \frac{d\overline{z}\wedge dz}{z-z_0}%
\rightarrow \iint_R\left( \frac \partial {\partial \overline{z}}f(z)\right) 
\frac{d\overline{z}\wedge dz}{z-z_0}.
\end{equation*}
Jadi kita peroleh 
\begin{eqnarray*}
\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz-2\pi if(z_0) &=&\iint_R\left( \frac \partial
{\partial \overline{z}}f(z)\right) \frac{d\overline{z}\wedge dz}{z-z_0} \\
f(z_0) &=&\frac 1{2\pi i}\left( \iint_R\left( \frac \partial {\partial 
\overline{z}}f(z)\right) \frac{dz\wedge d\overline{z}}{z-z_0}+\int_C\frac{%
f(z)}{z-z_0}dz\right) .
\end{eqnarray*}

Kita akan melihat formula di atas untuk $f-\mu $ regular yaitu $%
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ dengan syarat $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{%
\partial v}{\partial y}+\mu u$ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{%
\partial v}{\partial x}-\mu v.$ Maka 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial }{\partial \overline{z}}f(z) &=&\frac{1}{2}\left( \frac{%
\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}\right) \left(
u(x,y)+iv(x,y)\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{%
\partial y}\right) +i\left( \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{%
\partial y}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{2}\mu \left[ u-iv\right] \\
&=&\frac{1}{2}\mu \overline{f(z)}.
\end{eqnarray*}
Jadi kita peroleh

\begin{eqnarray*}
f(z_0) &=&\frac 1{2\pi i}\left( \iint_R\left( \frac \partial {\partial 
\overline{z}}f(z)\right) \frac{dz\wedge d\overline{z}}{z-z_0}+\int_C\frac{%
f(z)}{z-z_0}dz\right) \\
&=&\frac 1{2\pi i}\left( \iint_R\frac 12\mu \overline{f(z)}\frac{dz\wedge d%
\overline{z}}{z-z_0}+\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz\right) .
\end{eqnarray*}
Selanjutnya kita akan melihat bagaimana integral fungsi $\mu -regular$ pada
suatu lintasan tertutup sederhana $C,$ dengan $C$ merupakan batas suatu
daerah $R.$

\begin{eqnarray*}
\oint_{C}f(z)dz &=&\oint_{C}(u+iv)(dx+idy) \\
&=&\oint_{C}(udx-vdy)+i\oint_{C}(udy+vdx) \\
&=&\iint_{R}(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}%
)dx\wedge dy+i\iint_{R}\left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v%
}{\partial y}\right) dx\wedge dy \\
&=&\iint_{R}(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}%
)dx\wedge dy+i\iint_{R}\left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v%
}{\partial y}\right) dx\wedge dy \\
&=&\iint_{R}(\mu v)dx\wedge dy+i\iint_{R}\left( \mu u\right) dx\wedge dy \\
&=&\iint_{R}\mu (v+iu)\frac{1}{2}i(-2idx\wedge dy) \\
&=&\iint_{R}\mu (iv-u)dz\wedge d\overline{z} \\
&=&\frac{-1}{2}\mu \iint_{R}\overline{f(z)}dz\wedge d\overline{z}.
\end{eqnarray*}
Jadi kita peroleh

\begin{equation*}
\oint_{C}f(z)dz=\frac{-1}{2}\mu \iint_{R}\overline{f(z)}dz\wedge d\overline{z%
}.
\end{equation*}

Cara untuk memperoleh formula di atas dapat pula ditunjukkan dengan cara
sebagai berikut. Misalkan $D$ suatu domain yang terbatas pada bidang
kompleks dengan batas yang mulus. Jika g sebuah fungsi yang mulus pada $%
D\cup \partial D$ maka 
\begin{eqnarray*}
\int_{\partial D}g(z)dz &=&\int_{\partial D}g(z)dx+ig(z)dy \\
&=&\iint_{D}\left( i\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial
y}\right) dxdy \\
&=&2i\iint_{D}\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial 
}{\partial y}\right) (g(z))dxdy \\
&=& 2i\iint_{D}\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}dxdy  \label{green}
\end{eqnarray*}
\ref{green}

Selanjutnya akan dipandang fungsi $\frac{g(z)}{z-w}$ yang memiliki titik
singular di $z=w$. Untuk itu misalkan $D_{\varepsilon }$ adalah daerah yang
diperoleh dari $D$ dengan mengeluarkan disk berpusat di $w$ dan berjari-jari 
$\varepsilon .$ Berikut ini perhatikan $\frac{\partial }{\partial \overline{z%
}}\left( \frac{g(z)}{z-w}\right) =\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}%
\frac{1}{z-w}+g\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\left( \frac{1}{z-w}%
\right) =\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}\frac{1}{z-w}$ untuk $z\in
D_{\varepsilon }.$ Dari persamaan \ref{green} di atas, kita peroleh 
\begin{equation*}
\int_{\partial D_{\varepsilon }}\frac{g(z)}{z-w}dz=2i\iint_{D_{\varepsilon }}%
\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}\frac{dxdy}{z-w}
\end{equation*}
\ref{cauchy}\label{cauchy}

Sekarang perhatikan titik singular dari $\frac{1}{z-w}$ yaitu di $z=w$ \
maka $\iint_{\left| z-w\right| \leq 1}\frac{1}{\left| z-w\right| }%
dxdy=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\frac{1}{r}rdrd\theta =2\pi $. Selanjutnya
perhatikan \ref{cauchy}, untuk $\varepsilon \rightarrow 0$ integral ruas
kanan cenderung tak wajar sehingga \ref{cauchy} memiliki bentuk 
\begin{equation*}
\int_{\partial D_{\varepsilon }}\frac{g(z)}{z-w}dz=\int_{\partial
D_{\varepsilon }}\frac{g(z)}{z-w}dz-\int_{\left| z-w\right| =\varepsilon }%
\frac{g(z)}{z-w}dz.
\end{equation*}
Dengan menggunakan parameterisasi $\left| z-w\right| =\varepsilon $, maka 
\begin{equation*}
\int_{\left| z-w\right| =\varepsilon }\frac{g(z)}{z-w}dz=i\int_{0}^{2\pi
}g(w+\varepsilon e^{i\theta })d\theta
\end{equation*}
untuk $\varepsilon $ menuju ke $0$, maka integral di atas cenderung dekat ke 
$2\pi ig(w)$ karena $g$ kontinu di $w.$ Dengan demikian bila $\varepsilon $
menuju ke $0$, maka \ref{cauchy} menjadi 
\begin{equation*}
\int_{\partial D_{{}}}\frac{g(z)}{z-w}dz-2\pi ig(w)=2i\iint_{D_{{}}}\frac{%
\partial g}{\partial \overline{z}}\frac{dxdy}{z-w}.
\end{equation*}
atau 
\begin{equation*}
g(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_{{}}}\frac{g(z)}{z-w}dz-\frac{1}{\pi }%
\iint_{D_{{}}}\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}\frac{dxdy}{z-w}
\label{rep}
\end{equation*}
\ref{rep}

Sekarang perhatikan jika $g$ $\mu $ regular maka $\frac{\partial g}{\partial 
\overline{z}}=\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}\mu \overline{g}$ sehingga \ref{rep}
menjadi 
\begin{equation*}
g(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_{{}}}\frac{g(z)}{z-w}dz-\frac{\mu }{%
2\pi }\iint_{D_{{}}}\frac{\overline{g(z)}}{z-w}dxdy
\end{equation*}
dan dari persamaan \ref{green} di atas, diperoleh 
\begin{eqnarray*}
\int_{\partial D}g(z)dz &=&2i\iint_{D}\frac{\partial g}{\partial \overline{z}%
}dxdy \\
&=&i\iint_{D}\mu \overline{g(z)}dxdy
\end{eqnarray*}

\end{document}
